Penyederhanaan Fungsi Boolean

 

Contoh. f(x, y) = xy + xy’ + y

 

disederhanakan menjadi

 

f(x, y) = x’ + y

 

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

  1. Secara aljabar
  2. Menggunakan Peta Karnaugh
  3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

 

 

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

 

Contoh:

  1. f(x, y) = x + xy

= (x + x’)(x + y)

= 1 × (x + y )

= x + y

 

  1. f(x, y, z) = xyz + xyz + xy

= xz(y’ + y) + xy

= xz + xy

 

  1. f(x, y, z) = xy + xz + yz = xy + xz + yz(x + x’)

= xy + xz + xyz + xyz

= xy(1 + z) + xz(1 + y) = xy + xz

x y z xy xy + xz X’z X’yz xyz xy + xz + xyz + xyz yz Yz+x’z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

2.  Peta Karnaugh

 

a.  Peta Karnaugh dengan dua peubah

y

0          1

  m0 m1 x 0 xy xy
  m2 m3 1 xy xy

 

 

b. Peta dengan tiga peubah

   

 

          yz

00

 

01

 

11

 

10

  m0 m1 m3 m2   x 0 xyz xyz xyz xyz
  m4 m5 m7 m6   1 xyz xyz xyz xyz

 

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

 

x y z f(x, y, z)    
0 0 0 0    
0 0 1 0    
0 1 0 1    
0 1 1 0    
1 0 0 0    
1 0 1 0    
1 1 0 1    
1 1 1 1    

 

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

x 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
         

b. Peta dengan empat peubah

   

 

          yz

00

 

01

 

11

 

10

  m0 m1 m3 m2 wx 00 wxyz wxyz wxyz wxyz
  m4 m5 m7 m6   01 wxyz wxyz wxyz wxyz
  m12 m13 m15 m14   11 wxyz wxyz wxyz wxyz
  m8 m9 m11 m10   10 wxyz wxyz wxyz wxyz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

 

w x y z f(w, x, y, z)  
0 0 0 0 0    
0 0 0 1 1    
0 0 1 0 0    
0 0 1 1 0    
0 1 0 0 0    
0 1 0 1 0    
0 1 1 0 1    
0 1 1 1 1    
1 0 0 0 0    
1 0 0 1 0    
1 0 1 0 0    
1 0 1 1 0    
1 1 0 0 0    
1 1 0 1 0    
1 1 1 0 1    
1 1 1 1 0    

 

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 1 0 1
01 0 0 1 1
11 0 0 0 1
10 0 0 0 0
         

 

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh

 

1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 0 0 1 1
10 0 0 0 0

 

 

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz

Hasil Penyederhanaan:     f(w, x, y, z) = wxy

 

Bukti secara aljabar:

 

f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz

= wxy(z + z’)

= wxy(1)

= wxy

 

 

2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0

 

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz’ + wxyz + wxyz + wxyz

Hasil penyederhanaanf(w, x, y, z) = wx

 

Bukti secara aljabar:

 

f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy

= wx(z’ + z)

= wx(1)

= wx

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0

 

 

Contoh lain:

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 0 0
10 1 1 0 0

 

 

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz’ + wxyz + wxyz’ + wxy’z

Hasil penyederhanaan:    f(w, x, y, z) = wy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.  Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1

 

 

Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxyz’ + wxyz + wxyz + wxyz’ +

wxyz’ + wxyz + wxyz + wxyz

 

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w

 

Bukti secara aljabar:

 

f(w, x, y, z) = wy’ + wy

= w(y’ + y)

= w

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1

 

 

Contoh 5.11. Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y, z)  = xyz + xyz’ + xyz + xyz’.

Jawab:

Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

x 0     1  
1 1   1 1

 

Hasil penyederhanaan:  f(x, y, z)  =  yz + xz

 

 

 

 

Contoh 5.12. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian sesederhana mungkin.

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 1 1 1
01 0 0 0 1
11 1 1 0 1
10 1 1 0 1

 

Jawab: (lihat Peta Karnaugh)  f(w, x, y, z) = wy’ + yz’ + wxz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 5.13. Minimisasi fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 1 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1

 

Jawab: (lihat Peta Karnaugh)  f(w, x, y, z) = w + xyz

 

 

Jika penyelesaian Contoh 5.13 adalah seperti di bawah ini:

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 1 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1

 

 

maka fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah

 

f(w, x, y, z) = w + wxyz (jumlah literal = 5)

 

yang ternyata masih belum sederhana dibandingkan f(w, x, y, z) = w + xyz (jumlah literal = 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh 5.14. (Penggulungan/rolling) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 0 0 0

 

Jawabf(w, x, y, z) = xyz’ + xyz’ ==> belum sederhana

 

 

Penyelesaian yang lebih minimal:

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 0 0 0

 

 

f(w, x, y, z) = xz’    ===> lebih sederhana

 

 

Contoh 5.15: (Kelompok berlebihan) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 1 0 0
11 0 1 1 0
10 0 0 1 0

 

Jawab:        f(w, x, y, z) = xyz + wxz + wyz ® masih belum sederhana.

 

 

Penyelesaian yang lebih minimal:

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

wx 00 0 0 0 0
01 0 1 0 0
11 0 1 1 0
10 0 0 1 0

 

 

f(w, x, y, z) = xyz + wyz ===> lebih sederhana

 

 

Contoh 5.16. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

 

  cd

00

 

01

 

11

 

10

ab 00 0 0 0 0
01 0 0 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 1

 

Jawab: (lihat Peta Karnaugh di atas)  f(a, b, c, d) = ab + ad + ac + bcd

 

 

 

Contoh 5.17. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z)  =  xzxy + xyz + yz

Jawab:

x’z = xz(y + y’) = xyz + xyz

xy = xy(z + z’) = xyz + xyz

yz = yz(x + x’) = xyz + xyz

 

f(x, y, z) = xz + xy + xyz + yz

= xyz + xyz + xyz + xyz’ + xyz + xyz + xyz

= xyz + xyz + xyz’ + xyz + xyz

 

Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:

 

  yz

00

 

01

 

11

 

10

x 0   1 1 1
1   1 1  

 

Hasil penyederhanaan:  f(x, y, z) = z + xyz

Peta Karnaugh untuk lima peubah

 

000      001    011    010     110     111    101     100

00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4
01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12
11 m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28
10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20
                 

 

Garis pencerminan

 

 

 

Contoh 5.21. (Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari  f(v, w, x, y, z) = S (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)

Jawab:

Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:

 

 

  xyz

000

 

001

 

011

 

010

 

110

 

111

 

101

 

100

 
 

 

 

 

vw 00

 

1

     

1

 

1

     

1

 
 

 

 

 

01

   

1

 

1

     

1

 

1

   

 

 

 

 

11

   

1

 

1

     

1

 

1

   
 

 

 

 

10

   

1

         

1

   

 

Jadi  f(v, w, x, y, z)  =  wz + vwz’ + vyz